已知连续复利的零息债券（已知连续复利的零息票利率,求连续复利远期利率）
1、已知连续复利的零息债券
已知连续复利的零息债券
定义
零息债券是一种不支付利息的债券，其面值在到期时一次性支付。在连续复利的情况下，零息债券的面值会随着时间的推移而以连续复利的方式增长。
公式
给定一个初始投资本金 P、连续复利率 r 和到期时间 T，零息债券的面值 F 可通过以下公式计算：
F = P e^(rT)
特点
不支付利息：零息债券不支付定期利息，面值仅在到期时支付。
连续复利：面值会随着时间的推移以连续复利的方式增长，这比定期复利产生更快的增长。
较高收益：由于不支付定期利息，零息债券通常比支付利息的债券具有更高的收益率。
久期较长：由于面值在到期时一次性支付，零息债券的久期通常比支付利息的债券长，这意味着其价格对利率变化更敏感。
优势
锁定收益率：投资人在购买零息债券时即锁定收益率。
税收优惠：在一些国家，零息债券的面值增长可以延后缴税。
多元化：零息债券可以作为多元化投资组合的工具，因为它与其他资产类别的相关性较低。
风险
利率风险：利率上升会降低零息债券的价值。
信贷风险：如果发行人违约，投资者可能会损失全部投资。
流动性风险：零息债券的流动性可能较低，尤其是在到期日之前的日期。
2、已知连续复利的零息票利率,求连续复利远期利率
已知连续复利零息票利率 $r_z$，求连续复利远期利率 $f_t$。
公式：
$f_t = \frac{1}{T} \ln\left(\frac{P_0}{P_T}\right)$
其中：
$T$ 为期限，以年为单位
$P_0$ 为现值
$P_T$ 为到期值
推导：
对于到期值为 $1$ 的零息票，其现值为 $e^{-r_z T}$，因此：
$P_0 = e^{-r_z T}$
对于到期值为 $P_T$ 的远期合约，其现值为：
$P_0 = \frac{P_T}{e^{f_t T}}$
联立以上两个方程，得：
$\frac{P_T}{e^{f_t T}} = e^{-r_z T}$
化简后得到：
$f_t = \frac{1}{T} \ln\left(\frac{P_0}{P_T}\right)$
因此，连续复利远期利率与零息票利率的关系为：
$f_t = \frac{r_z}{1+r_z T} \approx r_z - r_z^2 T$（当 $T$ 较小时）
3、假设连续复利的零息票利率如表5.6所示
假设连续复利的零息票利率如表 5.6 所示：
| 到期日（年） | 零息票利率 |
|---|---|
| 1 | 0.05 |
| 2 | 0.08 |
| 3 | 0.10 |
| 4 | 0.12 |
| 5 | 0.14 |
这些利率用于计算零息票债券的价格。零息票债券是一种不支付利息的债券，但以低于面值的折扣价出售，到期时偿还面值。
例如，假设到期 3 年的零息票债券的面值为 100 美元。根据表 5.6，3 年的零息票利率为 0.10。使用连续复利公式，我们可以计算债券的价格：
P = FV / e^(r t)
P = 100 / e^(0.10 3)
P = 74.08 美元
这表明该债券将以 74.08 美元的折扣价出售，到期时将偿还 100 美元的面值。连续复利假设计息在每个时刻都在复利，因此它产生比离散复利（例如每年复利一次）更高的未来价值。
因此，表 5.6 中提供的零息票利率对于准确计算不同到期日期的零息票债券的价格至关重要。这些利率反映了投资者对未来现金流的预期值，并考虑了复利的累积效应。
4、已知连续复利的零息债券2年期即期利率
已知连续复利的零息债券 2 年期即期利率
零息债券是一种不支付利息的债券，其面值在到期时一次性支付。由于不支付利息，因此其价格低于面值。为了衡量零息债券的收益率，通常使用连续复利计算其即期利率。
即期利率计算公式：
```
r = -ln(P/F) / t
```
其中：
r 为即期利率
P 为债券当前价格
F 为债券到期时的面值
t 为债券到期时间（以年为单位）
应用于 2 年期零息债券：
假设已知一张 2 年期零息债券，其面值为 100 美元，当前价格为 92.53 美元，则其 2 年期即期利率为：
```
r = -ln(92.53/100) / 2
```
```
r = 3.73%
```
因此，该 2 年期零息债券的即期利率为 3.73%。
意义：
即期利率反映了市场对未来利率的预期。对于零息债券而言，即期利率表示投资者通过持有该债券直到到期可以获得的年化收益率。即期利率的高低会影响债券价格，并为投资者提供对未来利率走势的见解。
